Conteúdo sobre importância dos modelos epidemiológicos, em especial do modelo SIR, no combate à pandemia da COVID-19.

No post de hoje, vou falar sobre o modelo SIR (Suscetível-Infectado-Recuperado),  muito utilizado em epidemiologia, que vem sendo empregado por diversas frentes de pesquisa para auxiliar no entendimento das dinâmicas envolvidas na progressão e combate da pandemia da COVID-19.

O Modelo SIR

Neste artigo, vou abordar o modelo epidêmico básico, que opera como a fundação dos modelos epidemiológicos mais avançados. Isso porque antes de entender casos mais complexos, é preciso entender a dinâmica básica do modelo. O modelo SIR é um modelo compartimental, isto é, contém um ou mais compartimentos que podem interagir entre si. No caso desse modelo epidemiológico,  assume-se que cada um dos indivíduos de uma determinada população vive dentro de um dos seguintes compartimentos:

Modelo SIR

Você pode perceber que as iniciais dos compartimentos dão nome ao modelo SIR.

Vamos aos compartimentos!

Agora, antes de detalhar o que cada compartimento significa, é importante saber que para esse modelo básico é assumido que existem N pessoas na população e que essa quantidade permanece fixa a todo tempo, ou seja, não existem nascimentos e nem mortes nesta população.

As pessoas que estão no compartimento suscetível são caracterizadas por aquelas  que nunca tiveram a doença infecciosa, mas  possuem o risco de contraí-la de uma pessoa infectada no futuro. Isso nos traz ao segundo compartimento, os infectados. Nesse compartimento estão aquelas que estão com a doença atualmente e podem transmiti-la para as demais. E o último grupo contém os recuperados, ou seja, aqueles que contraíram a doença uma vez e jamais mais terão a enfermidade novamente.

Simplificando o Modelo SIR com premissas

Antes de continuar, é importante retomarmos ao fluxo mostrado no diagrama acima.

Hipoteticamente, se você é suscetível, seu único destino potencial é se tornar um infectado. Da mesma forma, se você for um infectado, o único caminho que você pode seguir é se tornar um recuperado. E se você for um recuperado, não tem mais nenhum lugar que possa ir, uma vez que você entra nesse grupo, ficará nele permanentemente.

Baseando-se no que foi dito até agora, você pode estar se perguntando: todas essas premissas são válidas para uma situação real?

Novamente, este é o modelo epidemiológico básico, portanto, várias das premissas assumidas anteriormente não serão totalmente válidas para descrever o seu caso de estudo. Para ser um pouco mais claro, existem doenças que, mesmo que você seja um recuperado, em algum ponto no futuro você pode contraí-las novamente.

Além disso, esse  modelo SIR desconsidera um outro compartimento englobando pessoas vacinadas,  variável que alteraria a dinâmica dos demais compartimentos.

Entendendo o comportamento da doença

Então, assumindo que entendemos as premissas básicas do modelo SIR, vamos adiante.

O modelo SIR basicamente diz que, conforme o tempo passa, o número de pessoas nos compartimentos muda baseado nas interações entre as pessoas de diferentes compartimentos.

Para demonstrar isso, vamos utilizar o seguinte exemplo:

Considere um pequena população de seis pessoas: quatro delas são suscetíveis a contrair a doença, duas estão infectadas e não há recuperados. Agora, vamos adicionar mais um elemento na equação: as possíveis interações entre essas pessoas e seus resultados.

Por exemplo, é possível que em um determinado momento, uma pessoa suscetível interaja com uma pessoa infectada com um aperto de mão ou uma conversa. No entanto, vale enfatizar que se uma pessoa suscetível estiver interagindo com outra suscetível nada vai acontecer, da mesma forma que se uma pessoa infectada estiver interagindo com outra infectada nada deve acontecer também.

O ponto é: quando uma pessoa suscetível interage com uma pessoa infectada, não é garantido que a doença passe de uma pessoa para a outra, entretanto, existe essa possibilidade. Mais adiante, vamos definir a possibilidade de transmissão através de um parâmetro matemático.

A matemática do Modelo SIR

Agora que abordamos os compartimentos, as premissas e o comportamento da doença, podemos partir para a matemática por trás do modelo.

A matemática do modelo SIR

O modelo SIR é descrito por meio das equações mostradas acima. As derivadas de cada compartimento mostram qual a mudança na quantidade de pessoas pertencentes àquele grupo para um determinado tempo.

Por exemplo, se a taxa de variação do grupo suscetível é um número alto, em termos absolutos, isso quer dizer que o número de pessoas suscetíveis está diminuindo muito rapidamente, implicando em um aumento brusco do número de infectados pois, como citamos anteriormente, é o único caminho permitido no modelo.

Por outro lado, se essa taxa de variação é menor, isso indica uma situação melhor na qual menos pessoas estão se infectando com a doença.

Dito isso, vamos separar os termos presentes nas equações diferenciais do grupo dos suscetíveis e explicá-los separadamente pois, embora ela possa parecer um pouco complexa, cada um daqueles termos conta um pedaço da história e, uma vez que contarmos toda a história, ficará claro o que a taxa de variação do grupo de suscetíveis quer dizer e isso facilitará o entendimento das demais equações diferenciais.

Grupo de pessoas suscetíveis

Vamos começar com o termo da divisão do número de infectados I(t) dividido pelo número de indivíduos na população N, que indica a proporção atual de pessoas infectadas.

Utilizando o exemplo anterior, no qual tínhamos uma população com seis pessoas, sendo duas infectadas, esse termo seria igual a 0,33. Isso quer dizer que se você atualmente é uma pessoa suscetível a adquirir a doença e por algum motivo interaja com uma pessoa aleatória na população, durante um determinado intervalo de tempo, existe uma chance de 33% de que essa pessoa seja do grupo dos infectados.

O termo β, chamado de taxa de contato, refere-se a quantas interações você teve com outras pessoas durante um intervalo de tempo. Analisando β conjuntamente com o termo anterior, podemos interpretá-lo da seguinte maneira: quantas interações você teve com outras pessoas da população e qual a probabilidade dessas outras pessoas estarem infectadas.

O termo τ, chamado de probabilidade de transmissão, é uma medida  que analisa a chance de uma pessoa infectada transmitir a doença para um indivíduo suscetível  a partir de uma interação. Um τ grande, por exemplo, nos diz que essa interação tem maior chance de resultar que você fique doente.

Tudo o que discutimos até agora serve para um indivíduo. E pensando na população total? Para isso, basta multiplicar por S(t), número de pessoas suscetíveis em um determinado tempo. Com isso, você saberá a mudança total no número de pessoas desse grupo, nessa população.

Para entendermos o sinal negativo no início da equação, olhamos para o termo S(t) e analisamos que ele pode apenas diminuir com o tempo pois, como vimos no diagrama anteriormente, o único caminho para pessoas suscetíveis é se tornar um infectado e não temos nenhum fluxo de pessoas entrando no grupo de suscetíveis. Dessa forma, aquele sinal negativo, nos diz que a taxa de variação do número de pessoas no grupo de suscetíveis é sempre negativa.

Essa primeira equação era a mais difícil, mas agora sabendo a história desses termos fica mais fácil entender as demais equações diferenciais.

Grupo de pessoas recuperadas


Nesse momento vamos analisar a equação diferencial que rege o número de pessoas recuperadas. A derivada de R(t), com relação ao tempo, nos mostra que a taxa de variação do grupo de recuperados vai ser igual a um parâmetro γ (taxa de recuperação) multiplicado pelo número atual de pessoas infectadas.

Dessa forma, para termos um alto número de recuperados, precisamos de um alto número de infectados ou uma alta taxa de recuperação.

Grupo de pessoas infectadas

Dito isso, fica mais fácil a analisar a taxa de variação do grupo de infectados pois, no início da modelagem assumimos que o número de indivíduos nesta população é constante a todo o tempo. Isso nos diz que se somarmos a taxa de variação de cada um dos grupos, essa soma tem que ser zero.

Assim, descobrimos que a taxa de variação do grupo de infectados em um determinado intervalo de tempo é dada pela diferença da taxa de variação dos grupo de suscetíveis menos a taxa de variação do grupo de recuperados.

Analisando o comportamento das curvas

Agora, nós podemos analisar o comportamento desses grupos em um gráfico e discutir termos que temos ouvido muito na mídia recentemente como achatamento da curva e o número básico de reprodução (𝕽).

sir-model2

Analisando o gráfico, podemos perceber que no eixo vertical temos o número de indivíduos em um determinado tempo e no eixo horizontal a dimensão de tempo.

No início, temos uma pessoa infectada e nenhuma pessoa recuperada. Com o passar do tempo, a doença começa a se espalhar pela população e, com uma defasagem de acordo com o tempo de recuperação, temos um aumento no número de recuperados.

Com isso, podemos fazer uma análise importante com a equação diferencial do grupo dos infectados. Existe um momento no tempo no qual essa curva de infectados alcançará seu máximo, ou seja, a taxa de variação desse grupo será zero. Esse ponto será definido quando:

O que estamos assistindo bastante na mídia recentemente é o foco na curva de infectados. Mas então por que é importante estarmos atentos ao comportamento dessa curva e como podemos achatá-la?

Como você já deve ter escutado, uma doença altamente contagiosa como a COVID-19, tende a aumentar o número de pessoas no grupo de infectados muito rapidamente, sobrecarregando o sistema de saúde. É nesse ponto que entramos na discussão sobre o achatamento da curva do grupo de infectados, para que se tenha o controle no número de pessoas infectadas sem sobrecarregar o sistema de saúde.

sir-model

Agora que entendemos o comportamento desses grupos com a ajuda do gráfico, precisamos nos perguntar de que maneira efetiva podemos achatar essa curva e discutir o impacto dessas atitudes com o auxílio do modelo SIR. Para isso, vamos analisar um parâmetro muito importante na modelagem de doenças infecciosas, o número básico de reprodução (𝕽), que diz o quão problemática é uma doença para uma população. Em outras palavras, podemos analisá-lo como o número médio de pessoas que serão contaminadas por uma pessoa infectada, antes dela entrar para o grupo dos recuperados. Então, como calculamos?

Calculando o Número Básico de Reprodução

Para calcular esse número, vamos utilizar o inverso do parâmetro β. Podemos analisá-lo como o tempo médio entre interações, ou seja, podemos dizer que a cada 2 dias temos interação com uma pessoa diferente da população, por exemplo.

Da mesma forma, vamos utilizar o inverso do parâmetro γ e analisá-lo como sendo o tempo médio de recuperação. Vamos supor que esse tempo seja de 10 dias, então se você contraísse a doença agora, levaria 10 dias para estar recuperado.

Se analisarmos como esses parâmetros interagem entre si, podemos pensar da seguinte maneira: você tem uma doença que vai levar 10 dias para se recuperar e a cada 2 dias você interage com alguém da sua população, isso quer dizer que acontecem em média cinco interações (dez dividido por dois) nas quais você ativamente pode transmitir a doença para outra pessoa.

Vale lembrar que isso não quer dizer que a outra pessoa irá contrair a doença, pois temos o parâmetro τ, probabilidade de transmissão, que trata da probabilidade de uma pessoa suscetível contrair a doença, caso ocorra essa interação.

Agora, vamos juntar tudo isso e definir Número Básico de Reprodução (𝕽):

Dessa forma, definimos o número básico de reprodução em termos do modelo SIR.

Assim, para conseguirmos achatar a curva de infectados, precisamos diminuir o número básico de reprodução. Para isso, temos três opções:

  • Diminuir β;
  • Diminuir τ;
  • Aumentar γ.

Então, para entender o que isso quer dizer nas ações atualmente utilizadas na pandemia do COVID-19, vamos analisar um exemplo para cada parâmetro.

  • Diminuir o parâmetro β implica em reduzir o número de interações entre as pessoas, ou seja, o isolamento social e o fechamento de lugares públicos.
  • Diminuir o parâmetro τ implica em reduzir a probabilidade da transmissão da doença, ou seja, caso ocorram as interações entre as pessoas, como podemos reduzir a probabilidade de contágio. Por isso, sugere-se o uso de máscaras e de álcool em gel.
  • Aumentar γ implica em diminuir o tempo de recuperação dos infectados, ou seja, aplicar o tratamento adequado.

Por fim, esta explicação básica teve por objetivo retratar a evolução da COVID-19 com auxílio do Modelo SIR. De fato, o modelo epidêmico é eficaz e explica o comportamento das curvas de forma objetiva, além de elucidar a importância das medidas implementadas a nível nacional e internacional, no combate da pandemia da COVID-19.

Use máscara e até mais!